дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Пределы Общее определение предела

Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ($ x$ или $ n$), от которого зависит изменяющаяся величина ($ f(x)$ или $ y_n$). В случае условия $ x\rightarrow x_0$ эти множества имеют вид $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$; в случае $ x\rightarrow +\infty$-- вид $ (a;+\infty)$; в случае $ n\rightarrow \infty$-- вид $ \{n\in\mathbb{N}:n>N\}=\{N+1,N+2,\dots\}$. Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний-- базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, $ x\to x_0$, $ x\to+/infty$, $ n\to\infty$ и т.п. Таким образом,

$\displaystyle \{x\rightarrow x_0\}=\{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta}),\ {\delta}>0\},$

$\displaystyle \{n\rightarrow \infty\}=\{\{n\in\mathbb{N}:n>N\},\ N\in\mathbb{N}\},$

$\displaystyle \{x\rightarrow +\infty\}=\{(a;+\infty),\ a\in\mathbb{R}\}.$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Итак, база предела-- это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если $ E_1$ и $ E_2$-- два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание $ E_3$, которое содержится в каждом из первых двух: $ E_3\sbs E_1\cap E_2$.

Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания-- непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, $ E_3$ можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.

Произвольную базу будем обозначать $ \mathcal{B}$, а её окончания-- буквой $ E$, быть может, снабжённой индексами. Если $ {E_1,E_2\in\mathcal{B}}$, причём $ {E_2\sbs E_1}$, то окончание $ E_2$ будем называть более далёким, чем окончание $ E_1$. Например, для базы $ {x\rightarrow +\infty}$ окончание $ {\{x>b\}}$ более далёкое, чем $ {\{x>a\}}$, если $ {b>a}$; для базы $ {x\rightarrow x_0}$ окончание $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$ является тем более далёким, чем меньше число $ {{\delta}>0}$.

Теперь дадим определение предела по заданной базе $ \mathcal{B}$.

Определение 2.4 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается
$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$
если
для любого (сколь угодно малого) числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство
$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}.$
Тот факт, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L.$

Нетрудно заметить, что в случае баз $ x\rightarrow x_0$, $ n\rightarrow \infty$ и $ x\rightarrow +\infty$ это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости $ xOy$, на которой нарисован график функции $ y=f(x)$, проведём горизонтальную полосу ширины $ 2{\varepsilon}$ вокруг горизонтальной прямой $ y=L$. Тот факт, что $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L$, означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы $ \mathcal{B}$, на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

Рис.2.8.График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком окончании

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Ускорение численных расчетов и повышение их точности

Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные.

Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже:

  • Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера. Примеры решения задач Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление. Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
  • Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков. Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения.
  • Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел.
  • Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел.
  • Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности.
  • Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье.
  • Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра