Конспекты по математике Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства Примеры

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$ и базу $x\to+\infty$ . Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную и окончание базы $E=(0;+\infty)$ , тогда $\vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $x\in E=(0;+\infty)$ . Однако $\sin x$ не имеет предела при $x\to+\infty$ : какое бы окончание $(a;+\infty)$ ни взять, при $x\in(a;+\infty)$ значения $\sin x$ многократно изменяются от до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $\lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при ${\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$ , при всех из которого при некотором выполнялось бы неравенство $\vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$ . Такое окончание $E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $\sin x$ при $x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $t=\dfrac{1}{x}$ , получится, что предел $\lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $\sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.

Рис.2.18.График $y=\sin\frac{1}{x}$

График совершает бесконечно много колебаний при подходе к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$ , значения, равные ,-- в точках вида $\dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$ , а значения, равные 0,-- в точках вида $\dfrac{1}{k\pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

Теорема 2.7 Пусть $\mathcal{B}$ -- база, функция локально ограничена, а функция ${\alpha}(x)$ бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение ${\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Так как локально ограничена при базе $\mathcal{B}$ , то $\vert f(x)\vert\leqslant K$ при некотором и всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ . Фиксируем произвольное число ${\varepsilon}>0$ и рассмотрим положительное число ${\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$ . Так как ${\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ , то найдётся такое окончание $E_1\in\mathcal{B}$ , что при всех $x\in E_1$ выполняется неравенство $\vert{\alpha}(x)\vert<{\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$ . Рассмотрим теперь некоторое окончание $E_2\sbs E_0\cap E_1$ . (Такое окончание существует по определению базы.) Так как -- часть как , так и , то при $x\in E_2$ выполняются одновременно неравенства $\vert f(x)\vert\leqslant K$ и $\vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{K}$ , из которых следует, что $\vert f(x){\alpha}(x)\vert=\vert f(x)\vert\cdot\vert{\alpha}(x)\vert<K\dfrac{{\varepsilon}}{K}={\varepsilon}$ при всех $x\in E_2$ . Так как число ${\varepsilon}>0$ было выбрано произвольно, это означает, что функция ${\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ является бесконечно малой при базе $\mathcal{B}$ .

Пример 2.13 Пусть ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $f(x)=\sin x$ . Так как ${\alpha}(x)$ бесконечно мала, а локально ограничена при базе $x\to\pm\infty$ , то их произведение $\dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$ -- бесконечно малая при $x\to\pm\infty$ , а также при $x\to+\infty$ и при $x\to-\infty$ (см.упражнение 2.4).

Рис.2.19.График $y=\dfrac{\sin x}{x}$

Пример 2.14 В предыдущем примере сделаем замену $t=\frac{1}{x}$ . Тогда, очевидно, функция $\dfrac{\sin x}{x}$ перейдёт в функцию $t\sin\frac{1}{t}$ , а базы $x\to\pm\infty$ , $x\to+\infty$ и $x\to-\infty$ , соответственно, в базы $t\to0$ , $t\to0+$ и $t\to0-$ . Значение предела $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ при замене не изменится, так что $\lim\limits_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.$

Рис.2.20.График функции $t\sin\dfrac{1}{t}$

Следствие 2.2 Пусть -- постоянная и ${\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ . Тогда $C{\alpha}(x)$ -- тоже бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Достаточно заметить, что локально ограничена при базе $\mathcal{B}$ и сослаться на предыдущую теорему.

Следствие 2.3 Пусть ${\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$ -- бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ и $C_1,C_2,\dots,C_n$ -- произвольные постоянные. Тогда величина вида
$\displaystyle {\beta}(x)=C_1{\alpha}_1(x)+C_2{\alpha}_2(x)+\ldots+C_n{\alpha}_n(x)$
является бесконечно малой при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.

Замечание 2.1 Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество $\mathcal{L}^0_{\mathcal{B}}$ всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании базы $\mathcal{B}$ и бесконечно малых при этой базе $\mathcal{B}$ , имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.