дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Общие свойства пределов

Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве) Пусть при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ выполняется неравенство $ {f_1(x)\leqslant f_2(x)}$. Предположим, что существуют пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$. Тогда $ L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $ \geqslant $.
Доказательство. Рассмотрим функцию $ g(x)=f_2(x)-f_1(x)$. По условию теоремы, $ g(x)\geqslant 0$, причём
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)= \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$
Применим к функции $ g(x)$ теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $ L_2-L_1\geqslant 0$, то есть $ L_2\geqslant L_1$, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.
Замечание 2.6 Аналогичные утверждения для строгих неравенств ($ >$ и $ <$) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $ \lim\limits_{x\to0+}x$. Очевидно, он равен 0, хотя при любом $ x$ из любого окончания $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$ величина $ f(x)=x$ строго положительна.

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0


Напомним, что функция $ f(x)$ называется не убывающей на множестве $ {A\sbs\mathbb{R}}$, если для любых $ {x_1,x_2\in A}$, таких что $ {x_1<x_2}$, выполняется неравенство $ {f(x_1)\leqslant f(x_2)}$, и невозрастающей на $ A$, если при $ {x_1,x_2\in A}$ и $ {x_1<x_2}$ выполняется неравенство $ {f(x_1)\geqslant f(x_2)}$.
Теорема 2.13(о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз $ n\to\infty$, $ x\to+\infty$, $ x\to x_0-$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\leqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\leqslant C$.

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции


Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел $ \{C\}$, где числа $ C$ ограничивают функцию $ f(x)$ сверху, существует точная нижняя грань $ L=\inf\{C\}$; она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 или С.М.Никольский, Курс математического анализа, т.1.
Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты $ t=-x$:
Следствие 2.8 Пусть рассматривается одна из баз $ {n\to\infty}$, $ {x\to+\infty}$, $ {x\to x_0-}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании$ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная$ C$, что $ {f(x)\geqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\geqslant C}$.

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции


Следствие 2.9 Пусть рассматривается одна из баз $ x\to-\infty$, $ x\to x_0+$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\geqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\geqslant C$.

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции


Следствие 2.10 Пусть рассматривается одна из баз $ {x\to-\infty}$, $ {x\to x_0+}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании$ E$ базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная$ C$, что $ {f(x)\leqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\leqslant C}$.

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции

 

 

 

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Установка систем и их особенности

Инсталляция систем Mathematica 3

Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Элементы математической логики  Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой).

Примеры решения задач Функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра