дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Первый и второй замечательные пределы

        Определение 2.11   Первым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$
    
        Теорема 2.14   Первый замечательный предел равен $ 1:$
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$

        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела $ \lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}$ и $ \lim\limits_{x\to0-}\dfrac{\sin x}{x}$ и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ также будет равняться 1.

Итак, пусть $ x\in(0;\frac{\pi}{2})$ (этот интервал -- одно из окончаний базы $ x\to0+$). В тригонометрическом круге (радиуса $ R=1$) с центром $ O$ построим центральный угол, равный $ x$, и проведём вертикальную касательную в точке $ U$ пересечения горизонтальной оси с окружностью ($ \vert OU\vert=1$). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона $ x$ с окружностью буквой $ V$, а с вертикальной касательной -- буквой $ W$; через $ T$ обозначим проекцию точки $ V$ на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Пусть $ S_{\triangle OUV}$ -- площадь треугольника $ OUV$, $ S_{сек.OUV}$ -- площадь кругового сектора $ OUV$, а $ S_{\triangle OUW}$ -- площадь треугольника $ OUW$. Тогда очевидно следующее неравенство:

$\displaystyle S_{\triangle OUV}<S_{сек.OUV}<S_{\triangle OUW}.$
Заметим, что горизонтальная координата точки $ V$ равна $ \vert OT\vert=\cos x$, а вертикальная -- $ h=\sin x$ (это высота треугольника $ OUV$), так что $ S_{\triangle OUV}=\frac{1}{2}\vert OU\vert h=\dfrac{\sin x}{2}$. Площадь центрального сектора круга радиуса $ R$ с центральным углом $ x$ равна $ \frac{1}{2}R^2x$, так что $ S_{сек.OUV}=\frac{1}{2}x$. Из треугольника $ OUW$ находим, что $ \vert WU\vert=\mathop{\rm tg}\nolimits x$. Поэтому $ {S_{\triangle OUW}=\frac{1}{2}\vert OU\vert\vert WU\vert=\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.}$ Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде
$\displaystyle \frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.$
Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:
$\displaystyle \frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}=\frac{\cos x}{\sin x},$
или (умножив на $ \sin x$) так:
$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$
Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при $ x\to0+$ предел $ \cos x$ в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части $ \dfrac{\sin x}{x}$ также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что $ \cos x\xrightarrow {x\to0+}1$. Сперва заметим, что $ {0<\sin x=h<\vert UV\vert<x}$, так как $ x$ равняется длине дуги окружности $ UV$, которая, очевидно, длиннее хорды $ \vert UV\vert$. Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

$\displaystyle 0<\sin x<x$
при $ x\to0+$, получаем, что
$\displaystyle \sin x\xrightarrow {x\to0+}0.$(2.3)
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Простая замена переменной $ t=\dfrac{x}{2}$ показывает, что и $ \sin\frac{x}{2}\xrightarrow {x\to0+}0$. Теперь заметим, что $ \cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$. Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:
$\displaystyle \lim_{x\to0+}\cos x= \lim_{x\to0+}(1-2\sin^2\frac{x}{2})= 1-\lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}\cdot \lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}=1-0\cdot0=1.$(2.4)

Тем самым показано, что
$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}=1.$
Сделаем теперь замену $ t=-x$; при этом база $ x\to0+$ перейдёт в базу $ t\to0-$ (что означает, что если $ x\in(0;{\delta})$, то $ t=-x\in(-{\delta};0)$). Значит,
$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=1,$
но $ \sin(-t)=-\sin t$ ($ \sin$ -- нечётная функция), и поэтому
$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0-}\dfrac{\sin t}{t}=1.$
Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.     

Доказанная теорема означает, что график функции $ y=\dfrac{\sin x}{x}$ выглядит так:

Рис.2.28.График $ y=\dfrac{\sin x}{x}$

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

      

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Установка систем и их особенности

Инсталляция систем Mathematica 3

Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Элементы математической логики  Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой).

Примеры решения задач Функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра