дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Лекции по математике Эллипс Кривые и поверхности второго порядка

 

   Предложение 12.1   Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси $ Ox$ и $ Oy$ , начало координат -- центр симметрии.

        Доказательство.     Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (12.4).

Пусть эллипс задан уравнением (12.4) и $ M_1(x_1;y_1)$  -- какая-то точка эллипса. Тогда

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1.$(12.6)
 


Точка $ M_2(-x_1;y_1)$ является точкой, симметричной точке $ M_1$ относительно оси $ Oy$ (рис. 12.4).

Рис.12.4.Симметрия точек


Вычисляем значение левой части уравнения (12.4) в точке $ M_2$

$\displaystyle \frac{(-x_1)^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}.$

В силу равенства (12.6) получаем

$\displaystyle \frac{(-x_1)^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,$

следовательно, точка $ M_2$ лежит на эллипсе. Точка $ M_3(x_1;-y_1)$ является точкой симметричной точке $ M_1$ относительно оси $ Ox$ (рис. 12.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{(-y_1)^2}{b^2}=1,$

то есть $ M_3$ является точкой эллипса. Наконец точка $ M_4(-x_1;-y_1)$ является симметричной точке $ M_1$ относительно начала координат (рис. 12.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (12.4). А так как по теореме 12.2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.     

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (12.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив $ y$ из уравнения (12.4) и взяв перед корнем знак "$ +$ ",

$\displaystyle y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}.$

Построим график этой функции. Область определения -- отрезок $ [-a;a]$ , $ y(0)=b$ , при увеличении переменного $ x$ от 0 до $ a$ функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси $ Oy$ функция $ y$ монотонно растет при изменении $ x$ от $ -a$ до 0. Производная $ y'=-\dfrac ba\dfrac x{\sqrt{a^2-x^2}}$ определена во всех точках интервала $ (a;b)$ и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная $ y''=\dfrac{-ab}{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3}$ отрицательна во всех точках интервала $ (a;b)$ , следовательно, график -- выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка $ [-a;a]$ . Выразим из уравнения (12.4) переменное $ x$ через $ y$ : $ x=\dfrac ab\sqrt{b^2-y^2}$ . Очевидно, что в точке $ y=0$ эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке $ (a,0)$ существует. Легко проверить, что она параллельна оси $ Oy$ . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 12.5).

Рис.12.5.Эллипс

     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Математические системы

В 80-е годы возможностями символьной математики увлекся защитивший докторскую диссертацию Стивен Вольфрам (Stephen Wolfram) из США (рис. 1.1). Его интересы были столь серьезны, что он основал фирму Wolfram Research, Inc., приступившую к созданию проекта престижной математической системы Mathematica. Математика примеры решения задач математический анализ Версия Mathematica 1.0 этой системы, появившаяся в 1988 г., уже устарела, и самой известной разработкой фирмы стала версия 2.0 системы Mathematica 2, появившаяся в 1991 г. и благополучно дожившая до наших дней. У нас она впервые стала известна благодаря обзорам Примеры решения задач Определенный интеграл Интегральное исчисление. Задания для подготовки к практическому занятию Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Цели нового проекта были достаточно амбициозными — разработка мощного и универсального ядра системы (Kernel), способного работать на различных компьютерных платформах, создание многофункционального языка программирования, ориентированного на математические приложения, подготовка современного пользовательского интерфейса и обширного набора прикладных пакетов и расширений системы (Packages), мощного языка программирования математических преобразований и вычислений. Система приобрела свойства адаптации и обучения новым математическим законам и закономерностям.

Закон Вина Verkauf und Vermietung von Containeranlagen bei Leebox in Muenchen;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра