Конспект лекций по математике Гиперболоиды Кривые и поверхности второго порядка

Определение Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

где , , -- положительные числа.
Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.
Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому
$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$
Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому
$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$
Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).

Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением
$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$
Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.13).
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями ${z=\pm h}$ , . Уравнения этих линий
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2}-1,\\ z=\pm h. \end{array}\right.$
Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если ${\vert h\vert<c}$ . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.
Пусть $\vert h\vert>c$ . Первое уравнение преобразуем к виду
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}=1,$
то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$

(13.9)

где $a_1=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ , $b_1=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия $\sqrt{\frac {h^2}{c^2}-1}$ и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).

Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.

Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (13.8) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис 4.15).

Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения