дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Конус Кривые и поверхности второго порядка

 

Определение 13.6 Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,$

где $ a$ , $ b$ , $ c$ -- положительные числа.

Замечание 13.1 С математической точки зрения поверхность(13.10) лучше определять с помощью уравнения
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2,$(13.11)

так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины $ a$ , $ b$ , $ x$ , $ y$ , $ z$ имеют размерность длины, то в уравнении(13.11) размерности правой и левой части не согласуются.

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение пары прямых $ {z=\pm\frac cby}$ на плоскости $ yOz$ . Построим эти прямые (рис. 13.16). Сечение плоскостью $ xOz$ также является парой прямых с уравнением $ {z=\pm\frac cax}$ . Нарисуем и эти прямые (рис. 13.16).




Рис.13.16.Сечения конуса координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{\left(\frac{a^2h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{\left(\frac{b^2h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.12)


где $ a_1=\frac{ah}{c}$ , $ b_1=\frac{bh}{c}$ . Уравнение(13.12) является уравнением эллипса. Нарисуем полученные сечения (рис. 13.17).

Рис.13.17.Изображение конуса с помощью сечений


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.18.

Рис.13.18.Конус
$ xOy$

Точка пересечения конуса с плоскостью $ xOy$ называется вершиной конуса.

Если в уравнении(13.10) $ {a=b}$ , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ . Именно с таким конусом мы имеем дело в школьном курсе математики.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

В наши дни многие уже путают компьютерную математику как науку о математических вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети Интернет. Примеры решения задач Вычисление определенного интеграла Интегральное исчисление. Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат. Векторы Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Для многих неискушенных в математике пользователей не совсем понятно, что делают СКМ, особенно те из них, которые выполняют символьные операции. Поэтому в этом уроке мы впервые познакомимся с особенностями различных систем и оценим их возможности, так сказать, в первом приближении. Некоторые из приведенных примеров лучше повторить в дальнейшем — после изучения основ работы с системой Mathematica. Впрочем, нетерпеливые учащиеся могут попробовать сделать это немедленно! Однако, чтобы запустить систему Mathematica 3 или 4 и начать работу с ней, надо вначале установить систему на жесткий диск вашего ПК. Об этом пойдет речь в конце данного урока.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра