дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Параболоиды Кривые и поверхности второго порядка

 


        Определение 13.8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$
 

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.$

Это уравнение определяет на плоскости $ xOy$ пару прямых $ {y=\pm\frac bax}$ , изображенных на рисунке 13.23.

Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=-\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение на плоскости $ yOz$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2},$

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).




Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=-h}$ , $ h>0$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=-h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2h}- \frac{x^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b_1^2}-\frac{x^2}{a_1^2}=1,$(13.16)
 


где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси $ Oy$ , а мнимая -- оси $ Ox$ . Полуоси равны соответственно $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями $ x=\pm m$ , параллельными плоскости $ yOz$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{m^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2},\\ x=\pm m. \end{array}\right.$

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью $ yOz$ , только сдвинутой вдоль оси $ Oz$ на величину $ \frac{m^2}{a^2}$ вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.

Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений


Так как $ m$ -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости $ yOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ xOz$ .

Плоскость $ z=h$ , $ h>0$ , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси $ Ox$ , а мнимая -- оси $ Oy$ (рис. 13.25).

Рис.13.25.Дополнительное сечение


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.

Рис.13.26.Гиперболический параболоид

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

В наши дни многие уже путают компьютерную математику как науку о математических вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети Интернет. Примеры решения задач Вычисление определенного интеграла Интегральное исчисление. Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат. Векторы Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Для многих неискушенных в математике пользователей не совсем понятно, что делают СКМ, особенно те из них, которые выполняют символьные операции. Поэтому в этом уроке мы впервые познакомимся с особенностями различных систем и оценим их возможности, так сказать, в первом приближении. Некоторые из приведенных примеров лучше повторить в дальнейшем — после изучения основ работы с системой Mathematica. Впрочем, нетерпеливые учащиеся могут попробовать сделать это немедленно! Однако, чтобы запустить систему Mathematica 3 или 4 и начать работу с ней, надо вначале установить систему на жесткий диск вашего ПК. Об этом пойдет речь в конце данного урока.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра