дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Дифференциальное исчисление

 

        Определение 4.3   Пусть дана функция $ f(x)$, и $ x_0$ -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение $ {\Delta}x$ и рассмотрим приращение функции
$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0).$
Если это приращение $ {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)$ можно представить в виде
$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x),$
где величина $ A(x_0)$ не зависит от приращения $ {\Delta}x$, а $ {\alpha}(x_0;{\Delta}x)$ -- бесконечно малая при базе $ {\Delta}x\to0$ величина, имеющая больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, то произведение $ A(x_0){\Delta}x$ называется дифференциалом функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначается $ df(x_0;{\Delta}x)$ или просто $ df$.     

Таким образом, дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это функция двух аргументов $ x_0$ и $ {\Delta}x$, причём от переменного приращения $ {\Delta}x$ дифференциал зависит линейно ($ {\Delta}x$ входит в выражение, задающее $ {\Delta}f$, как множитель, стоящий в первой степени). Заметим, что в формуле

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=df(x_0;{\Delta}x)+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$

второе слагаемое в правой части имеет порядок малости, больший, чем у $ {\Delta}x$, и, следовательно, при $ A(x_0)\ne0$ больший, чем у $ df(x_0;{\Delta}x)$. Поэтому дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это главная, линейная по $ {\Delta}x$, часть приращения функции.

        Теорема 4.3   Функция $ f(x)$ имеет дифференциал $ df(x_0;{\Delta}x)$ в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную $ f'(x_0)$ в этой точке; при этом
$\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

        Доказательство.     Пусть функция $ f(x)$ имеет дифференциал, то есть её приращение можно представить в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$. Разделим обе части равенства на $ {\Delta}x$:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0)+\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}.$

При $ {\Delta}x\to0$ в правой части предел первого слагаемого равен $ A(x_0)$, поскольку эта величина не зависит от $ {\Delta}x$ и, следовательно, при вычислении предела считается постоянной. Далее,

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}=0,$

так как, по определению дифференциала, $ {\alpha}$ имеет более высокий порядок малости, нежели $ {\Delta}x$. Значит, существует предел

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0).$

Но этот предел, по определению, равен производной $ f'(x_0)$. Значит, функция имеет производную в точке $ x_0$, и $ f'(x_0)=A(x_0)$, откуда

$\displaystyle df=A(x_0){\Delta}x=f'(x_0){\Delta}x.$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x_0)$. Это означает, что $ {\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=f'(x_0)}$. По теореме о связи пределов и бесконечно малых, это эквивалентно тому, что величина $ {{\beta}(x_0;{\Delta}x)=\dfrac{{\Delta}f(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}-f'(x_0)}$ является бесконечно малой. Умножим обе части последнего равенства на $ {\Delta}x$ и получим:

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x+{\beta}(x_0;{\Delta}x){\Delta}x.$

Получили представление приращения функции в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}$, где $ A(x_0)=f'(x_0)$, а величина $ {\alpha}={\beta}{\Delta}x$, очевидно, имеет больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, поскольку $ \dfrac{{\alpha}}{{\Delta}x}={\beta}\to0$ при $ {\Delta}x\to0$. Тем самым, функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ дифференциал, который имеет вид $ df=f'(x_0){\Delta}x$.     

Геометрический смысл дифференциала $ df(x_0;{\Delta}x)$ мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная $ f'(x_0)$ -- это угловой коэффициент $ k$ касательной к графику функции при $ x=x_0$, то дифференциал $ df=f'(x_0){\Delta}x=k{\Delta}x$ -- это приращение ординаты $ Y$ точки касательной

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=kx+b$

к графику функции $ y=f(x)$, когда абсцисса точки касательной получает приращение $ {\Delta}x$:

$\displaystyle {\Delta}Y=(k(x_0+{\Delta}x)+b)-(kx_0+b)=k{\Delta}x.$

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

        Замечание 4.6   Заметим, что для функции $ f(x)=x$ производная равна 1, так что дифференциал $ df(x;{\Delta}x)=dx$ равен $ 1\cdot{\Delta}x={\Delta}x$, то есть $ dx={\Delta}x$. Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной $ {\Delta}x$ писать её дифференциал $ dx$. При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции $ f(x)$
$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$
    
        Замечание 4.7   Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент $ dx={\Delta}x$, от которого $ df$ зависит линейно, и пишут короче:
$\displaystyle df(x)=f'(x)dx.$
Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов $ x$ и $ dx$, линейная по $ dx$.     
        Замечание 4.8   Поскольку для функции $ y=f(x)$ дифференциал записывается как $ dy=df(x)=f'(x)dx$, то, деля на $ dx$, получаем
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{dy}{dx}(x),$
что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби $ \dfrac{dy}{dx}$ смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.     

Компьютерная математика Maple 7

Предисловие

Автор данной книги, как и многие почитатели компьютерных вычислений, прошел долгий путь их реализации: от программируемых микрокалькуляторов до работы на малых и персональных ЭВМ, использующих универсальные языки программирования высокого уровня. Это нашло отражение в его ранних книгах [1-3]. Совсем недавно пользователь ЭВМ, решая даже простые численные задачи, был вынужден осваивать основы программирования и готовить кустарные программы, вряд ли нужные кому-либо еще, кроме их создателя. Между тем возможности компьютеров постоянно росли. Сейчас персональный компьютер (ПК) с микропроцессором класса Pentium II, III или 4 намного превосходит по своим возможностям первые ЭВМ, занимавшие целые комнаты и залы. А скорость вычислений нынешних ПК в сотни раз превосходит скорость вычислений легендарных IBM PC XT и AT (первых ПК) и вплотную приближается к скорости вычислений суперЭВМ недавнего прошлого. Примеры решения задач Замена переменных Интегральное исчисление. Полярная система координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Информатика, начертательная геометрия, ТОЭ, задачи по математике

В связи с этим стал меняться взгляд на назначение компьютера. На первое место вышло применение их для работы с текстовыми процессорами (например, Microsoft Word) и прикладными программными системами для автоматизации офисной деятельности. Увы, при этом многие пользователи стали забывать о том, что ЭВМ изначально создавались для вычислений, а вовсе не для замены ими популярной, но ставшей неудобной пишущей машинки. Развитие мультимедиа привело к бурному применению компьютеров в роли игровых автоматов. В результате главный стимул развития «электронного помощника» создается отнюдь не высокоинтеллектуальными задачами.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра