Конспект лекций по математике Матрицы Символ суммирования

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:
$\displaystyle \sum_{i=m}^nf(i),$
которая расшифровывается так

$\displaystyle \sum_{i=m}^nf(i)=f(m)+f(m+1)+\ldots+f(n),$

(14.1)

где -- функция целочисленного аргумента. Здесь символ $\sum$ (большая греческая буква "сигма") означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .
Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:
1) $\displaystyle\sum_{i=1}^5 \frac 1i=\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+ \frac15=\frac{137}{60}$ .
2) $\displaystyle\sum_{i=2}^k m^i=m^2+m^3+m^4+\ldots+m^k$ . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти
$\displaystyle \sum\limits_{i=2}^k m^i=\frac{m^2(1-m^{k-1})}{1-m}.$
3) $\displaystyle\sum\limits_{s=0}^4 2^{s^2}=2^0+2^1+2^4+2^9+2^{16}=66067$ .
4) $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^5(-1)^{j+1}\sqrt{2j+0.5}=\sqrt{2.5}-\sqrt{4.5}+ \sqrt{6.5}-\sqrt{8.5}+\sqrt{10.5}\approx 2.334223$ .
5) $\displaystyle\sum\limits_{q=1}^n 1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_n=n$ .
В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида $\displaystyle \sum_{i=1}^na_i$ . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому
$\displaystyle \sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\ldots+a_n.$
С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}=\sum_{i=1}^k {\alpha}_i{\beta}_i,$

(14.2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .
Для единообразия будем считать, что
$\displaystyle \sum_{i=1}^1 a_i=a_1,$
и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Компьютерная математика Maple 7

Предисловие

Автор данной книги, как и многие почитатели компьютерных вычислений, прошел долгий путь их реализации: от программируемых микрокалькуляторов до работы на малых и персональных ЭВМ, использующих универсальные языки программирования высокого уровня. Это нашло отражение в его ранних книгах [1-3]. Совсем недавно пользователь ЭВМ, решая даже простые численные задачи, был вынужден осваивать основы программирования и готовить кустарные программы, вряд ли нужные кому-либо еще, кроме их создателя. Между тем возможности компьютеров постоянно росли. Сейчас персональный компьютер (ПК) с микропроцессором класса Pentium II, III или 4 намного превосходит по своим возможностям первые ЭВМ, занимавшие целые комнаты и залы. А скорость вычислений нынешних ПК в сотни раз превосходит скорость вычислений легендарных IBM PC XT и AT (первых ПК) и вплотную приближается к скорости вычислений суперЭВМ недавнего прошлого. Примеры решения задач Замена переменных Интегральное исчисление. Полярная система координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Информатика, начертательная геометрия, ТОЭ, задачи по математике

В связи с этим стал меняться взгляд на назначение компьютера. На первое место вышло применение их для работы с текстовыми процессорами (например, Microsoft Word) и прикладными программными системами для автоматизации офисной деятельности. Увы, при этом многие пользователи стали забывать о том, что ЭВМ изначально создавались для вычислений, а вовсе не для замены ими популярной, но ставшей неудобной пишущей машинки. Развитие мультимедиа привело к бурному применению компьютеров в роли игровых автоматов. В результате главный стимул развития «электронного помощника» создается отнюдь не высокоинтеллектуальными задачами.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра