Конспект лекций по математике Матрицы Обратная матрица Определение

        Определение 14.8 Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается $A^{-1}$ . Таким образом, если $A^{-1}$ существует, то ${AA^{-1}=A^{-1}A=E}$ .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы $A^{-1}$ , то есть ${(A^{-1})^{-1}=A}$ . Про матрицы и $A^{-1}$ можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
        Предложение 14.20 Если матрица имеет обратную, то ${\vert A\vert\ne0}$ и ${\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .
        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то ${\vert AA^{-1}\vert=\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert}$ . По следствию 14.1 ${\vert E\vert=1}$ , поэтому ${\vert A\vert\vert A^{-1}\vert=1}$ , что невозможно при ${\vert A\vert=0}$ . Из предыдущего равенства следует также ${\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}}$ .

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
        Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если ${\vert A\vert=0}$ , и невырожденной или неособенной матрицей, если ${\vert A\vert\ne0}$ .
        Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
        Доказательство.     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

$\displaystyle BAC=(BA)C=EC=C$ и $\displaystyle \quad BAC=B(AC)=BE=B.$
Следовательно, .

        Предложение 14.22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{\vert A\vert}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}... ...n2}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

(14.14)

где $A_{ij}$ -- алгебраические дополнения к элементам $a_{ij}$ .
        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.
Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что ${b_{kj}=\dfrac{A_{jk}}{\vert A\vert}}$ :

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\frac{A_{jk}}{\vert A\vert}= \frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}.$
Если $i\ne j$ , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть ${c_{ij}=0}$ при ${i\ne j}$ .
Если , то

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$
Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

$\displaystyle c_{ii}=\frac1{\vert A\vert}\cdot \vert A\vert=1.$
Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .

Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.
        Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
        Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра