Математика лекции Основные обозначения и определения Функции и их графики Примеры

Пример 1.8 Пусть -- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $\mathbb{R}^2$ с координатами и , с центром в точке . Функцию в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки до центра. Таким образом, $f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ , где $x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$ .
Графиком ${\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $A\times\mathbb{R}$ . Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$ . Обозначим координаты точек в $\mathbb{R}^3$ через . Тогда графику ${\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $x_1^2+x_2^2\leqslant 1$ .
Множество представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке , с высотой 1 и радиусом основания 1.

Рис.1.7.График расстояния до точки -- это конус

Как мы видим, в случае, когда -- подмножество плоскости $\mathbb{R}^2$ , график числовой функции $f:A\to\mathbb{R}$ -- это подмножество точек пространства $\mathbb{R}^3$ . Если же -- подмножество точек пространства $\mathbb{R}^3$ , то графиком числовой функции $f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество ${\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$ . В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график ${\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

Пример 1.9 Пусть $A=\mathbb{R}^3$ и для каждой точки $x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3$ значение функции в этой точке-- это квадрат расстояния от до точки , то есть $f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2$ . Тогда график ${\Gamma}_f$ -- это подмножество в $\mathbb{R}^4$ :
$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.$
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью $\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}$ -- это парабола в плоскости , а сечение трёхмерным пространством $\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}$ -- это одна точка .
Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.
Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного в примерах 1.1, 1.4 до задания функции формулой вида в примерах 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9. Способ задания функции $f:A\to B$ зависит от того, какова природа множеств и и как по заданному $x\in A$ определяется ${y=f(x)\in B}$ . Выделим основные из этих способов.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Знакомство с символьными вычислениями

Большинство первых CKM (Eureka, Mercury, Excel, Lotus-123, Mathcad для MS-DOS, PC MATLAB и др.) предназначались для численных расчетов. Они как бы превращали компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические и логические операции над числами или массивами чисел. Их результат всегда конкретен — это или число, или набор чисел, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с немыслимой ранее скоростью, педантичностью и даже точностью, выводя результаты в виде хорошо оформленных таблиц или графиков. Примеры решения задач Формула парабол Интегрирование по частям Комплексные числа Тригонометрическая и показательная форма числа Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Однако результаты вычислений редко бывают абсолютно точными в математическом смысле: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера при хранении чисел в памяти. Реализация большинства численных методов (например, решения нелинейных или дифференциальных уравнений) также базируется на заведомо приближенных алгоритмах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы теряют вычислительную устойчивость и расходятся, давая неверные решения или даже ведя к полному краху работы вычислительной системы — вплоть до злополучного «зависания».

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра