дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Функции и их графики Второй способ задания функции: с помощью формулы


Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $ f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $ x$ найти соответствующее ему значение $ y$, например:

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \arcsin x,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1;1];$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x^2\mbox{, если }x\geqslant 0,\\ -x^2\mbox{, если }x<0, \end{array}\right.,\quad \mbox{ при }\mathcal{D}(f)=\mathbb{R};$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \sqrt[4]{x},$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[0;+\infty);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln(1-x),$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;1);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln x_1x_2,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\sbs\mathbb{R}^2.$ 


 

 

        Замечание 1.3   Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $ A$, считаются различными. Так, функция $ f(x)=\arcsin x$ при $ x\in[0;1]$ и функция $ g(x)=\arcsin x$ при $ x\in[-1;1]$ -- это две разные функции, так как функция $ f$ устанавливает соответствие между точками множества $ [0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $ g$ -- между точками другого множества $ [-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как $ {f(x)=g(x)}$ при всех $ {x\in[0;1]}$.     

 

 

 

        Определение 1.6   Если дана функция $ f:A\to B$, и $ \wt A\sbs A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $ f$ только на элементах $ x\in\wt A$. Эта функция $ \wt f:\wt A\to B$ определена равенством $ \wt f(x)=f(x)$ при $ x\in\wt A$. Функция $ \wt f$ называется ограничением функции $ f$ на подмножество $ \wt A\sbs A$ её области определения $ A=\mathcal{D}(f)$ и обозначается $ f\vert _{\wt A}$, то есть $ \wt f=f\vert _{\wt A}$.     

 

 

 

        Пример 1.12   Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой
$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$
Рассмотрим на плоскости $ A$ подмножество -- прямую линию $ L$, заданную уравнением $ x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $ f\vert _L$ точки только прямой $ L$. Ограничение $ f\vert _L(x;y)$ определено только при $ x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,$
можно задать такими формулами:
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1$(1.1)

(так как $ y=1-x$ на прямой $ L$), или
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1$(1.2)

(так как $ x=1-y$ на прямой $ L$). Во всех точках $ (x;y)$ прямой $ L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $ f\vert _L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $ f\vert _L$ те же значения, что функция одного переменного $ x$: $ f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного $ y$: $ f_2(y)=-2y^2+1$.
Две последние функции называются параметризациями ограничения $ f\vert _L$.     

       

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Знакомство с символьными вычислениями

Большинство первых CKM (Eureka, Mercury, Excel, Lotus-123, Mathcad для MS-DOS, PC MATLAB и др.) предназначались для численных расчетов. Они как бы превращали компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические и логические операции над числами или массивами чисел. Их результат всегда конкретен — это или число, или набор чисел, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с немыслимой ранее скоростью, педантичностью и даже точностью, выводя результаты в виде хорошо оформленных таблиц или графиков. Примеры решения задач Формула парабол Интегрирование по частям Комплексные числа Тригонометрическая и показательная форма числа Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Однако результаты вычислений редко бывают абсолютно точными в математическом смысле: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера при хранении чисел в памяти. Реализация большинства численных методов (например, решения нелинейных или дифференциальных уравнений) также базируется на заведомо приближенных алгоритмах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы теряют вычислительную устойчивость и расходятся, давая неверные решения или даже ведя к полному краху работы вычислительной системы — вплоть до злополучного «зависания».

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра