дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Построение поля комплексных чисел

Из курса школьной математики известно, что любое уравнение $ {ax+b=0}$ имет решение при $ {a\ne0}$ . С другой стороны, квадратное уравнение не всегда имеет решение. Например, решения не имеет уравнение $ {x^2+1=0}$ . Возникает вопрос, нельзя ли сделать так, чтобы любое квадратное уравнение имело решение?

Предположим, что уравнение $ {x^2+1=0}$ имет решение. Число (абстрактный элемент, не принадлежащий полю вещественных чисел), которое является решением, обозначим буквой $ i$ , то есть $ {i^2=-1}$ . Мы должны иметь возможность умножать это число на любое вещественное число. Значит, должны появиться числа вида $ bi$ , где $ b$  -- вещественное число. Для них должна быть возможность сложения с любым вещественным числом. Поэтому должны появиться числа вида $ {a+bi}$ .

        Определение 17.1   Числа вида $ a+bi$ , где $ a$ и $ b$  -- вещественные числа, называются комплексными числами.         

Посмотрим, какие действия арифметики можно производить с комплексными числами. Сложение чисел должно удовлетворять обычным правилам, поэтому:

$\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$(17.1)

При вычислении произведения скобки раскроем привычным способом:
$\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2= ac+(bc+ad)i+bdi^2.$
Так как $ i^2=-1$ , то получим
$\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.$(17.2)

Итак, результаты сложения и умножения комплексных чисел снова оказались комплексными числами. Операцию вычитания определить не сложно:
$\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$(17.3)

Рассмотрим операцию деления. Учтем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число дробь не меняется:
$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}= \frac{ac+bci-adi-bdi^2}{c^2-d^2i^2}.$
Так как $ i^2=-1$ , то
$\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.$(17.4)

Результат деления двух комплексных чисел оказывается снова комплексным числом. Как видно из полученной формулы, деление нельзя выполнить лишь в том случае, когда $ {c=d=0}$ , но в этом случае делитель $ {c+di}$ тоже равен нулю. Следовательно, невозможно лишь деление на нуль, что соответствует обычным правилам действий с числами.

Итак, мы вроде бы расширили множество вещественных чисел. Но есть в этом построении один существенный пробел. Мы предположили, что есть такое число $ i$ , что $ {i^2=-1}$ . А, может быть, его на самом деле нет? Чтобы исправить это упущение, используем для построения комплексных чисел уже существующее множество.

Пусть $ \mathcal{P}$  -- множество пар вещественных чисел: $ {\mathcal{P}=\{(a,b)\vert a,b\in\mathbb{R}\}}$ . На этом множестве определим операции

  1. сложения:
  2. $\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);$
  3. вычитания:
    $\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d);$
  4. умножения:
    $\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);$
  5. деления:
    $\displaystyle \frac{(a,b)}{(c,d)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right).$

Очевидно, что комплексное число, как оно было определено раньше, -- просто другая форма записи пары вещественных чисел $ (a,b)$ , где вместо запятой стоит "+", а второй элемент пары выделяется умножением на букву $ i$ . В новой форме записи вещественные числа -- это пары $ {(a,0)}$ , числу $ i$ соответствует пара $ {(0,1)}$ , сложение, вычитание, умножение и деление пар чисел и комплексных чисел происходят по одинаковым правилам. Таким образом, комплексные числа стали реально существующим множеством.

Однако в математике, в силу традиции, используется запись комплексного числа $ {a+bi}$ , введенная в начале раздела. Причем принято считать, что

$\displaystyle a+0\cdot i=a,\quad 0+bi=bi,\quad0+0\cdot i=0,\quad1\cdot i=i.$

Можно проверить, что комплексные числа образуют поле. В нем обратным элементом к комплексному числу $ {a+bi}$ служит результат деления 1 на $ {a+bi}$ :

$\displaystyle \frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-b^2i^2}= \frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac a{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i.$
Это поле называется полем комплексных чисел и обозначается $ \mathbb{C}$ .

Число $ i$ называется мнимой единицей, числа $ bi$  -- мнимыми числами. Если $ {z=a+bi}$ , то число $ a$ называется вещественной частью комплексного числа и обозначается $ \mathop{\rm Re}\nolimits z$ , число $ b$ называется мнимой частью и обозначается $ \mathop{\rm Im}\nolimits z$ . Число $ {a-bi}$ называется сопряженным числу $ z$ и обозначается $ \ovl z$ , то есть $ {\ovl z=\overline{a+bi}=a-bi}$ .

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра