дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Асимптоты графика функции

 Пример 7.9   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x+e^{-x}$. Так как $ e^{-x}\to0$ при $ {x\to+\infty}$, то естественно рассматривать график $ y=\sin x$ как асимптотическую линию при $ {x\to+\infty}$ для графика исследуемой функции $ f(x)$.     

Рис.7.10.Асимптотическая линия $ y=\sin x$ для графика функции $ f(x)=\sin x+e^{-x}$ при $ x\to+\infty$


Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением $ y=kx+b$. Для их нахождения в тех случаях, когда значения $ k$ и $ b$ не очевидны, можно применять следующую теорему.
  Прямая $ y=kx+b$ служит наклонной асимптотой для графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$) в том и только том случае, когда

и

(соответственно, если
$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]).$
Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится $ {k=0}$) асимптоты достаточно найти два указанных предела $ k$ и, затем, $ b$. Прямая $ {y=kx+b}$ будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.
        Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае $ x\to+\infty$; доказательство при $ x\to-\infty$ проводится совершенно аналогично.
Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]= \lim_{x\to+\infty}x[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$
Так как первый множитель $ x\to+\infty$, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$
Но $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{b}{x}=0$ и $ \lim\limits_{x\to+\infty}k=k$, так что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}-k=0,$
откуда следует равенство (7.2). Теперь число $ k$ уже известно.
Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]= \lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]-b=0,$
откуда следует равенство (7.3).     
        Пример 7.10   Найдём наклонные асимптоты графика $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$.
Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$.
$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-x+3}{x(x-1)}= \lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=2;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}[\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}-2x]= \lim_{x\to\infty}... ...fty}\dfrac{x+3}{x-1}= \lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1.$
Итак, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$ имеем $ k=2$ и $ b=1$, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение $ y=2x+1$, то есть, фактически, асимптота только одна.     

Рис.7.11.График $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$ и его наклонная асимптота

        Замечание 7.2   Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.     
        Пример 7.11   Рассмотрим график $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. При $ x\to-\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $ y=-\frac{\pi}{2}$, а при $ x\to+\infty$ -- к другой горизонтальной асимптоте $ y=\frac{\pi}{2}$.     

Рис.7.12.График арктангенса имеет две разных горизонтальных асимптоты

Различными могут оказаться и не обязательно горизонтальные асимптоты:
        Пример 7.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.
Сначала найдём асимптоту $ y=kx+b$ при $ x\to+\infty$. Согласно доказанной теореме, имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=2-1=1;$
\begin{multline*} b=\lim_{x\to+\infty}[(2\sqrt{x^2+x+1}-x)-x]= 2\lim_{x\to+\in... ...}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}= 2\cdot\frac{1}{2}=1. \end{multline*}
Таким образом, при $ x\to+\infty$ наклонной асимптотой служит прямая $ y=x+1$.
Теперь найдём асимптоту при $ x\to-\infty$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1).$
Поскольку $ x\to-\infty$, мы можем считать, что в допредельном выражении $ x<0$. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число $ (-x)$. Тогда под корнем нужно будет поделить на $ (-x)^2=x^2$, и получится:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1)= \lim_{x\to-\infty}(-2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=-2-1=-3.$
Вычисление $ b$ проведите сами в качестве упражнения. При этом получается $ b=-1$, так что наклонная асимптота при $ x\to-\infty$ имеет уравнение $ y=-3x-1$.     

Рис.7.13.График $ y=2\sqrt{x^2+x+1}-x$ и его две наклонных асимптоты

        Замечание 7.3   Если график $ y=f(x)$ имеет асимптоту $ y=kx+b$ (например, при $ x\to+\infty$) и существует предел производной:
$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f'(x),$
то $ k=l$. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17
.
Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная $ f'(x)$ не имеет никакого предела при $ x\to+\infty$. Дело в том, что значения $ f(x)$ могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     
        Пример 7.13   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$. Очевидно, что прямая $ y=x$ -- это асимптота графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$, так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при $ x\to+\infty$. Однако вычисление производной даёт
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\sin x^2+2\sin x^2,$
а эта функция при росте $ x$ совершает колебания, причём при больших $ x$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения $ f'(x)$ колеблются примерно между $ -1$ и 3. Следовательно, производная не имеет предела при $ x\to+\infty$.
Если же рассмотреть функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^3+x$, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра