дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Надежная юридическая контора выполняет бухгалтерские услуги в сжатые сроки в Бутово Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Функции графики Экстремум функции и необходимое условие экстремума

 

   Пример 7.20   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Производная этой функции существует при всех $ x$, кроме $ x=0$: при $ x>0$ $ f(x)=x$ и $ f'(x)=1\ne0$; при $ x<0$ $ f(x)=-x$ и $ f'(x)=-1\ne0$. Значит, единственная критическая точка -- та, в которой производная не существует, то есть $ x=0$. В этой точке, как легко видеть, $ f(x)$ имеет минимум.     
        Пример 7.21   Рассмотрим функцию
$\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{\frac{1}{3}}.$
Заметим, что функция непрерывна при всех $ x\in\mathbb{R}$. Её производная равна
$\displaystyle f'(x)= \frac{1}{3}(x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot2x=\frac{2}{3}\vert x\vert^{-\frac{1}{3}}\mathop{\rm sign}\nolimits x\ne0$
при $ x\ne0$ и не существует при $ x=0$. Значит, единственная критическая точка функции -- это $ x=0$. Поскольку $ f(x)>0$ при $ x\ne0$ и $ f(0)=0$, то $ x=0$ -- точка минимума.     

Рис.7.23.График функции $ y=\sqrt[3]{x^2}$


Не следует думать, что любая критическая точка функции даёт либо локальный максимум, либо локальный минимум. В некоторых критических точках экстремума может не оказаться вовсе.

        Пример 7.22   Рассмотрим функцию $ f(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$. Её производная равна
$\displaystyle f'(x)=3(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^2\cdot\dfrac{1}{x^2+1},$
она существует при всех $ x\in\mathbb{R}$. Уравнение $ f'(x)=0$ имеет решение $ x=0$ -- это единственная критическая точка функции $ f$. Однако $ x=0$ не является точкой локального экстремума, поскольку $ f(x)<0$ при всех $ x<0$ и $ f(x)>0$ при всех $ x>0$.     

Рис.7.24.График функции $ y=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$


Пусть требуется отыскать максимальное и минимальное значения функции $ f(x)$, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$. Согласно сказанному выше, если точка экстремума (максимума либо минимума) -- это внутренняя точка отрезка, то эта точка обязана быть критической. Следовательно, точка экстремума $ f(x)$ на $ [a;b]$ -- это либо критическая точка, либо один из концов отрезка.

Отсюда следует такой способ поиска максимума и минимума функции на $ [a;b]$: надо найти список "подозрительных" точек, включив в него: а) концы отрезка, то есть точки $ a$ и $ b$; б) стационарные точки, то есть все решения уравнения $ f'(x)=0$; в) критические точки, не являющиеся стационарными, то есть те точки отрезка, в которых функция непрерывна, но производная $ f'(x)$ не существует. Как правило, в этот список "подозрительных" точек входит конечное число точек. Во всех этих точках можно вычислить значение функции; максимальное и минимальное значение функции на отрезке будут содержаться в этом наборе значений, и их можно будет легко отыскать, а заодно установить и те значения $ x$, при которых эти экстремальные значения достигаются.

        Пример 7.23   Найдём наибольшее и наименьшее значения функции
$\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-17$
на отрезке $ [-2;3]$.
Имеем: $ f'(x)=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)$. Производная существует при всех $ x$, так что все критические точки функции являются стационарными, а стационарные точки задаются уравнением $ x^2+4x-5=0$. Это квадратное уравнение имеет корни $ x_1=-5$ и $ x_2=1$; первый корень не попадает на расматриваемый отрезок $ [-2;3]$, а второй попадает. Поэтому список "подозрительных" точек таков: $ -2;-1;3$ (оба конца отрезка и стационарная точка).
Вычисляем значения функции во всех точках списка:
$\displaystyle f(-2)=29; f(-1)=3; f(3)=19.$
Поэтому
$\displaystyle \min_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-1)=3;\quad \max_{x\in[-2;3]}f(x)=f(-2)=29.$

    

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра