Математика курс лекций для технических университетов

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует xÎ(a,b): g¢(x)(f(b) - f(a)) = f¢(x)(g(b) - g(a)).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = g(x)(f(b) - f(a)) - f(x)(g(b) - g(a)).

Для этой функции

F(a)= g(a)(f(b) - f(a)) - f(a)(g(b) - g(a))= g(a)f(b) - f(a)g(b) ,

F(b)= g(b)(f(b) - f(a)) - f(b)(g(b) - g(a))= - f(a)g(b) +g(a)f(b), таким образом, F(a)=F(b)

и к ней применима теорема Ролля:существует точка xÎ(a,b) для которой выполняется равенство 0=F(b)-F(a)=F¢(x)(b-a)=[g¢(x)(f(b)-f(a))-f¢(x)(g(b)-g(a))](b-a).

Следствие. Если g¢(x)¹0 на (a,b), то .

Доказательство. Если g¢(x)¹0 , то g(b)-g(a) ¹0. Иначе, в случае g(b)=g(a), по теореме Ролля нашлась бы точка x , где g¢(x)=0.

Уравнение линии на плоскости.

 Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.  

Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.  Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.  Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время. Примеры решения задач Примеры решения задач Пример. Вычислить интеграл Интегральное исчисление.

Уравнение прямой на плоскости. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.   В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.