Математика курс лекций для технических университетов

Исследования характера поведения функций

Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )

Опр. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0Î(a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)£ f(x0).

Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).

Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.

Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x0) в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Теорема. ( Необходимый условие экстремума )

Если x0 – точка экстремума функции f и существует f¢(x0), то f¢(x0)=0.

Доказательство. Теорема Ферма.

Определение. Точка, в которой f¢(x0)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f(x)=x3.

Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )

f непрерывная в точке x0. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 функция f(x) дифференцируема и f¢(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка экстремума ( строгого ), причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-d, x0] и на [x0, x0+d].

Замечание. Если f непрерывна в x0 , дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 причем

f¢(x)£0 на (x0-d, x0),

f¢(x)³0 на (x0, x0+d),

то в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:

f¢(x) ³ 0 на (x0-d, x0),

f¢(x) £ 0 на (x0, x0+d).

Пример. |x|.

Теорема ( Второе достаточное условие экстремума )

Пусть x0 – стационарная точка функции f и $ f¢¢(x0)¹0, тогда, если

f¢¢(x0)>0, то в точке строгий минимум

f¢¢(x0)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f¢¢(x0)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство

, или . Тогда для x > x0 будет выполнятся неравенство

  f¢(x) > 0 , а для x < x0 будет f¢(x) < 0, обеспечивающее выполнение достаточных условий для экстремума.

Аналогично для случая f¢¢(x0)<0.

Задача. Коробка, открытая сверху, наибольшего объема из квадратной выкройки

Объем коробки равен (a-2x)2x. Для поиска максимального объема вычислим

f¢(x)=(a2x - 4ax2+4x3)¢=a2- 8ax+12x2. Нули производной

Таким образом, x = .

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде: _{Примеры решения задач Тройной интеграл Интегральное исчисление.}

Составим характеристическое уравнение:

_{Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике}

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

  Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.