Математика лекции и задачи "Вычисление интегралов"

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Определение двойного интеграла

Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD . Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в области D (область также ограничена). Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема (см. рис. ch1_1_1.swf). Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n-1 называется разбиением области D={Dk}. В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Если функция f(x,y) определена на D, то интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

  (1)

Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие Mk=(xk,hk)ÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется двойным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Для краткости можно использовать обозначение .

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X)-J|<e.

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой на D.

Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функция интегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений Dm этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю l(Dm)®0 и некоторым набором промежуточных точек XmÎDm для каждого из разбиений. Тогда для числовой последовательности sm=s(f,D m,X m) будет выполнено равенство

=.

Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью интегральных сумм.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдется последовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы выбором одной из промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве этой промежуточной точки члены последовательности {P j}.

Геометрический смысл двойного интеграла.

 Интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которых служат области Dk и высотой f(Mk). При достаточно мелком разбиении D этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции ( поверхность z=f(x,y), считаем, что f>0) плоскостью z=0. Точным значением объема указанной области является интеграл .

 

Математика MATLAB

Отличия новой реализации MATLAB 6 от предшествующих версий 5.* настолько значительны, что вряд ли стоит пользоваться настоящим изданием для знакомства с предшествующими версиями MATLAB. Читателям, использующим MATLAB 5.*, в том числе любителям Macintosh, VAX/micro VAX и SunOS, можно рекомендовать уже упомянутую ранее изданную литературу по этим системам, все еще верой и правдой служащим многим пользователям. MATLAB 5 — развивающаяся система, которая будет обслуживать пользователей RISC- и VAX-станций Compaq в системах реального времени, пользователей компьютеров Apple, компьютеров на базе процессоров семейства Motorola 68000 и всех тех, кому важна совместимость с Macintosh, Next или RISC-серверами и рабочими станциями под управлением OpenVMS. Новейшие патчи к системам MATLAB 5 можно всегда получить с web-узла фирмы Math Works. Технологическое оборудование атомной станции Атомная промышленость Цилиндрические координаты Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Оглавление книги может служить подробным тематическим указателем, а помещенный в конце книги алфавитный указатель поможет читателю быстро найти интересующие его сведения. Операторы и функции MATLAB 6 описаны настолько подробно, что книга может служить руководством пользователя по этой системе и выполнять функции самоучителя. В целом книга имеет вполне законченный характер и полезна всем, кто собирается изучать или уже использует любую реализацию системы MATLAB 6.