Примеры решения задач типовых и курсовых расчетов по математике

Матрицы

Базисный минор, ранг матрицы

Определение. Минор -го порядка матрицы  называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы  порядка   и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора.

Для ранга матрицы  используются такие обозначения: .

Утверждение. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (столбцов).

Утверждение. Ранг матрицы не меняется 

 - при транспонировании матрицы. Метод активных и реактивных составляющих токов Электротехника курсовая работа

  - при перестановке её строк и столбцов.

- при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.

  - при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).

 - при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей. 

 - при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Методы вычисления ранга матрицы.

Метод упрощения матрицы с помощью элементарных пребразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки  занулить все элементы первого столбца кроме одного - верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все эементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведётся к ступенчатому виду.

Метод окаймления. Ищется минор порядка , заведомо отличный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие ) миноры  порядка. Если среди них найдётся хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какого-то, отличного от нуля минора -го порядка, все окаймляющие миноры ни окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен нулю.

Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математикеНайти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение: Монотонные последовательности Введение в математический анализ

Уравнение это уравнение конуса, образованного вращением прямой вокруг оси oz (причем берется верхняя его часть, поскольку z ³ 0). Второе уравнение  - это уравнение параболоида, образованного вращением параболы  вокруг оси oz .Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис.17.а)

Рис.17.

Тело W снизу ограничено поверхностью   , сверху- поверхностью  Найдем проекцию W на плоскость ху .Для этого решим систему

Получим х2+у2=1 , т.е. проекцией W на плоскость ху является круг D радиусом 1 с центром в точке (0, 0). Таким образом,

Полученный интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Область D записывается в виде .

Поэтому

Ответ: VW=2p